06 - Puntuaciones típicas

Las puntuaciones directas nos ofrecen muy poca información. Por ejemplos, conociendo una puntuación directa no sabemos si se trata de un valor alto o bajo porque esto depende del promedio del grupo.

Existen otras puntuaciones que resuelven ese problema, como la puntuación típica o tipificada

Una puntuación típica indica el número de desviaciones típicas que se aparta de la media una determinada puntuación.

Su media es 0 y su varianza es igual a 1.

Para calcular la puntuación típica usamos la fórmula:

$ \displaystyle z_{x} = \frac{X - \overline{X}}{S_{x}} $

Si transformamos las puntuaciones directas en puntuaciones típicas, obtenemos la llamada distribución normal estándar o tipificada, que tiene de media cero y varianza 1 y que simbolizamos con N(0, 1)

En Python podemos utilizar la librería scipy.stats para calcular las puntuaciones típicas:

  
import numpy as np

datos = np.array([479, 477, 492, 493, 454, 495, 474,
475, 478, 493, 473, 483, 487, 488, 494, 475, 465,
516, 524, 490])

mu = np.mean(datos)
sigma = np.std(datos, ddof = 1)

print("Media:", mu)
print("Desviación:", sigma)

Media: 485.25
Desviación: 15.986425162420904

  
# Calcular z-scores
import scipy.stats as st

zscores = st.zscore(datos)
print(zscores)

[-0.40111311 -0.5294693   0.43320216  0.49738026 -2.00556555  0.62573645
 -0.7220036  -0.6578255  -0.46529121  0.49738026 -0.78618169 -0.14440072
  0.11231167  0.17648977  0.56155835 -0.6578255  -1.29960647  1.9734765
  2.48690128  0.30484596]

Primero calculamos la puntuación típica correspondiente a la nota dada (5.5):

$ \displaystyle z_{x} = \frac{X - \overline{X}}{S_{x}} = \frac{5.5 - 6}{2} = -0.25$

Cálculo en Python:

nota = 5.5 
z = np.divide(np.subtract(nota, mu), sigma)
print(z)

-0.25

Después tenemos que encontrar a qué probabilidad corresponde ese z-score. Lo podemos hacer manualmente utilizando la tabla de distribución normal: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_normal_table

En esa tabla buscaríamos la probabilidad de que un estadístico sea menor que una determinada puntuación típica (en este caso -0.25). Buscaríamos en la primera columna el valor -0.2 y en la primera fila el valor -0.05: 0.41294.

También podemos usar la función norm.cdf de la librería scipy.stats en Python:

import scipy.stats as st

probabilidad = st.norm.cdf(z)
print(probabilidad) 

0.4012936743170763

¿Qué significa ese valor? Que el 40.13 % de los datos (las notas) están por debajo de la puntuación típica calculada (-0.25). O lo que es lo mismo. el 40.13% de los alumos tienen una nota menor o igual que 5.5.

Haciendo una simple regla de 3:

$ \displaystyle x = \frac{500 * 40.13}{100} = 200.65 \cong$ 201 alumnos

En otros muchos casos, conocemos el número de casos (o su proporción) y necesitamos saber cuál es el valor que nos deja por debajo (o por arriba) esos casos.

Por ejemplo, queremos saber que nota deja por debajo el 75 % de los alumnos (en realidad estamos calculando el percenti 75 de la distribución típica).

En este caso, sería hacer el procedimiento inverso al anterior: Deberíamos buscar en el interior de la tabla el valor más cercano a la proporción (0.75) y ver a qué puntuación típica corresponde (0.67). A partir de esa puntuación típica calculamos la nota ($ P_{75} $) de la siguiente manera:

$ \displaystyle z = \frac{P_{75} - \overline{X}}{S_{x}} \implies 0.67 = \frac{P_{75} - 6}{2} \implies P_{75} = (0.67 * 2) + 6 = 7.34 $

Igual que antes, en Python podemos utilizar la librería scipy.stats. En este caso usamos el método norm.ppf:

proporcion = 0.75
z = st.norm.ppf(proporcion)
print(z)

0.6744897501960817

valor = np.add(np.multiply(z, sigma), mu)
print(valor) 

7.348979500392163